Geschwindigkeitsvergleich

by Johann Rottensteiner

Das Michelson-Morley-Experiment und die Lorentz-Transformationen bilden die experimentelle und mathematische Grundlage der Relativitätstheorie von Albert Einstein. Die langjährige Beschäftigung mit gleichförmigen Bewegungen und Geschwindigkeiten hat ein logisch-mathematisches Problem offenbar werden lassen, das beim Vergleich von Geschwindigkeiten und bei deren Addition und Subtraktion auftritt. Die Lösung des Problems führt zwangsläufig  zu einem neuen Verständnis der Geschwindigkeit und erfordert eine Korrektur bestimmter physikalischer Formeln und Vorstellungen. Die lineare Addition und Subtraktion von Geschwindigkeiten in der klassischen Mechanik liefert überraschenderweise ein nicht korrektes Ergebnis. Die Ursache liegt in einem arithmetischen Fehler im Umgang mit der Geschwindigkeitsformel, einer Brucherweiterung oder Bruchkürzung, zu der uns die Geschwindigkeitsdefinition zwingt und in der Folge aber zu falschen Resultaten und zu einer falschen Vorstellung bezüglich Geschwindigkeit führt.

Gleichförmige Bewegungen und Geschwindigkeitsvergleich

Copyright©2010Johann Rottensteiner

(Gleichförmige Bewegungen und Geschwindigkeitsvergleich als PDF-Download)

Geschwindigkeit ist der Weg in der Zeit. Beim Vergleich von Geschwindigkeiten, mit denen in gleichen Zeiten oder Zeiteinheiten unterschiedlich lange Wegstrecken zurückgelegt werden, offenbart sich ein logisch-mathematisches Problem. Das einfache Geschwindigkeitsverhältnis (v1/v2) oder der Vergleich der unterschiedlichen Weg-Zeit-Verhältnisse ebenso wie die lineare Addition und Subtraktion von Geschwindigkeiten ergeben demzufolge ein mathematisch nicht korrektes Ergebnis. Am besten wird die Problematik beim Geschwindigkeitsvergleich erkennbar.

Die Geschwindigkeitsformel (v = Weg/Zeiteinheit) erlaubt zwei Möglichkeiten, die unterschiedlichen Geschwindigkeiten miteinander zu vergleichen:
1)  über die unterschiedlich langen Wegstrecken in gleichen Zeiten oder Zeiteinheiten
2) über die unterschiedlichen Zeiten bei gleichen Wegstrecken oder Längeneinheiten

(v = Geschwindigkeit, s = Wegstrecke  und  t = Zeit)

f2           (v1 < v2)

(1)

Für t1 = t2 = Zeiteinheit gilt:
f3                   (s1<s2)

(2)

Für s1 = s2 = gleiche Wegstrecken oder Längeneinheiten gilt:
f4                     (t1>t2)

(3)

Die Analyse der Geschwindigkeitsformel

Um die Problematik beim Geschwindigkeitsvergleich verständlich und klar erkennbar zu machen, soll eine alternative Darstellung der Geschwindigkeitsformel gewählt werden.

(v = Geschwindigkeit, x = Anzahl der Längeneinheiten, LE = Längeneinheit, t = Zeit)

s  =  x . LE  =  Wegstrecke

f5-de                   f6-de

(4)

Für s = Längeneinheit (LE) bei x = 1 gilt:

(v = Geschwindigkeit, LE = Längeneinheit, tLE = Zeit, die für eine Längeneinheit bei der Geschwindigkeit v benötigt wird)

f7-de                  f8-de

(5)

A)  Für die Zeit oder Zeiteinheit, in der eine bestimmte Anzahl x von Längeneinheiten LE mit   der Geschwindigkeit v  zurückgelegt wird, gilt dann:

f9-de             f10-de

(6)

x . tLE  =  t  =  Zeit oder Zeiteinheit      und      x . LE  =  s  =  Wegstrecke

B)  Für die Geschwindigkeit, mit der eine bestimmte Anzahl x von Längeneinheiten LE in der Zeit oder Zeiteinheit t  zurückgelegt wird, gilt dann:

f11-de            f12-de                  f13-de

(7)

x . LE  =  s  =  Wegstrecke      und      x . tLE  =  t  =  Zeit oder Zeiteinheit

Die Formeln (7) zeigen sehr deutlich, daß die einzelne Längeneinheit LE in der Zeit tLE und die gesamte Wegstrecke (x.LE) in der Zeit oder Zeiteinheit (x.tLE) mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgelegt werden. Das Verstehen und Begreifen dieser Tatsache, die formelmäßig eindeutig und unwiderlegbar darstellbar ist, stellt den Schlüssel zu einem tieferen Verständnis der Geschwindigkeit dar.

Der Geschwindigkeitsvergleich

Die  unterschiedlichen Geschwindigkeiten v1 < v2 bei gleichförmigen Bewegungen, mit t1,2  =  0 als gemeinsamer Startlinie, sollen nun miteinander verglichen werden.
Wichtig ist nochmals die Feststellung, daß die Längeneinheit in der Zeit tLE  (v = LE/tLE) und  die gesamte Wegstrecke in der Zeit oder Zeiteinheit  (v = x.LE/t  =  x.LE/x.tLE)  mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgelegt werden (Abb.1)

fig1

Abb.1       ©2010Johann Rottensteiner

Bei  v1 < v2  gilt:       x1 . LE  <  x2 . LE       und      t1 = t2     sowie    tLE1  >  tLE2

(s1  <  s2)                           (x1.tLE1 = x2.tLE2)

Wenn man die Geschwindigkeitsdefinition mit allen Konsequenzen akzeptiert, dann müssen bei v1 < v2 sowohl die beiden Wegstrecken (s1 < s2) als auch die beiden Zeiten pro Längeneinheit (tLE1 > tLE2) unterschiedliche Werte aufweisen.

Für die Geschwindigkeit v1 gilt: 

s1 = x1 . LE     und     t1 = x1 . tLE1 = Zeiteinheit

f14-de

(8)

Für die Geschwindigkeit v2 gilt:       

s2 = x2 . LE     und     t2 = x2 . tLE2 = Zeiteinheit

f15-de

(9)

Für unterschiedliche Geschwindigkeiten  (v1 < v2), die in gleichen Zeiten oder Zeiteinheiten unterschiedlich lange Wegstrecken zurücklegen, gelten dann die folgenden Bedingungen:

x1 . LE < x2 . LE        und       x1. tLE1 = x2.tLE2       sowie       tLE1 > tLE2  (bei x1<x2)

Der Geschwindigkeitsvergleich ergibt somit das folgende Resultat:

f16-de                  f17-de

(10)

Der einfache Geschwindigkeitsvergleich  (v1/v2)  ergibt nach den beiden Formeln (10) ein klares Ergebnis und läßt die folgende Aussage zu:
Durch das Kürzen von x1 und x2 (obwohl x1 < x2 gelten soll und erhalten bleiben muß) gehen die unterschiedlich langen Wegstrecken in gleichen Zeiten oder Zeiteinheiten, die bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten schon per definitionem zurückgelegt werden müssen, nicht in die Berechnungen ein und bleiben stets unberücksichtigt. Diese Tatsache, die ein korrektes mathematisches Ergebnis verhindert, blieb von den Mathematikern und Physikern bis zum heutigen Tage unbemerkt.

Der Geschwindigkeitsvergleich v1/v2 mit v1 < v2  (bei  s1 < s2  und  t1 = t2  oder auch bei  s1 = s2 und t1 > t2) wird immer nur auf den Vergleich der Weg-Zeit-Verhältnisse der jeweiligen Längeneinheiten reduziert. Es ist und war deshalb bisher niemals möglich, unterschiedliche Geschwindigkeiten miteinander zu vergleichen und dabei auch die unterschiedlichen Wegstrecken, die in gleichen Zeiten oder Zeiteinheiten zurückgelegt werden, in die Berechnungen miteinzubeziehen.

Anstelle von x1 . LE < x2 . LE  ( s1<s2 )  und x1 . tLE1 = x2 . tLE2  ( t1=t2) ergeben sich dann rein arithmetisch die folgenden Bedingungen:

LE = LE    and    tLE1 > tLE2

f18-de

(11)

Ein korrekter Geschwindigkeitsvergleich bei gleichförmigen Bewegungen muß deshalb das unterschiedliche Weg-Zeit-Verhältnis der jeweiligen Längeneinheiten  und  die  unterschiedliche Anzahl der zurückgelegten Längeneinheiten in der Zeit oder Zeiteinheit berücksichtigen.

Man erhält somit den richtigen Vergleichswert dann, wenn man das Weg-Zeit-Verhältnis der Längeneinheit (LE/tLE) mit der Anzahl der Längeneinheiten pro Zeiteinheit (x.LE/t)  multipliziert. Geschwindigkeiten müssen also über den mit ihnen zurückgelegten Weg pro Zeiteinheit betrachtet werden.

f19-de       multipliziert mit       f20-de

(12)

Beide Formeln (12) erfüllen die Geschwindigkeitsdefinition vollkommen.

Es gilt deshalb die folgende neue Erkenntnis:
Ein Vergleich der unterschiedlichen Geschwindigkeiten von gleichförmigen Bewegungen muß über das Quadrat der beteiligten Geschwindigkeiten erfolgen  (Abb.2, unten).

Bei  v1 < v2  muß gelten:           s1=x1.LE  <  s2=x2.LE            und          t1=t2      sowie      tLE1  >  tLE2

f21-de                                                                                                                                                                                        (13)

Eine neue Geschwindigkeitsdefinition sollte lauten:
Geschwindigkeit ist das Weg-Zeit-Verhältnis über den Weg in der Zeiteinheit.

fig2

Abb.2    ©2010Johann Rottensteiner

Bei v1 < v2 gilt:       x1 . LE  <  x2 . LE        und        t1= t2         sowie          tLE1  >  tLE2

Schlussbemerkung

Eine falsche Geschwindigkeitsvorstellung hat unser logisches Denken beim Rechnen mit Geschwindigkeiten in einer Art und Weise beeinflußt, das bei gründlicher Analyse auf mathematischer Ebene nicht bestätigt und klar widerlegt werden kann. In diesem Zusammenhang sei an einen Artikel über Bertrand Russell im P.M. 11/2004, S. 32, Die Welt der Philosophen, erinnert: „Nur Mathematik ist absolut wahr (sic)“

Berechnungen mit Geschwindigkeiten, die Vergleiche, Additionen und Subtraktionen von Geschwindigkeiten enthalten, müßten einer genaueren Überprüfung unterzogen werden. Betroffen sind dabei auch die Berechnungen zum Michelson-Morley-Experiment, die Lorentz-Transformationen und die Vorstellungen der speziellen Relativitätstheorie von A. Einstein, die teilweise ergänzt, korrigiert und auch neu überdacht werden müßten.

Johann Rottensteiner

Copyright©2010Johann Rottensteiner

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